Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai benda-benda berbentuk kerucut, misalnya nasi tumpeng, caping atau topi petani, topi ulang tahun, dan rumah adat Mbaru Niang di Flores, seperti gambar di bawah ini.
Secara geometris gambar benda-benda di atas yang berbentuk bangun ruang kerucut dapat digambarkan seperti gambar bawah ini.
Sisi alas kerucut berbentuk lingkaran dan sisi tegak berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut. Jadi bangun ruang kerucut dibatasi oleh dua sisi, yaitu sisi alas dan selimut kerucut. Pada gambar di atas, t merupakan tinggi kerucut, r adalah jari-jari alas kerucut, dan s disebut garis pelukis.
Bila kerucut dipotong menurut garis pelukis s dan sepanjang keliling alasnya, maka didapat jaring-jaring kerucut, seperti gambar di bawah ini.
Jika diperhatikan luas permukaan kerucut di atas terdiri dari luas alas lingkaran A dan luas selimut BCB’. Untuk menghitung luas permukaan kerucut, kita harus mencari luas selimut terlebih dahulu. Luas selimut kerucut dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan antara luas juring dengan panjang busur lingkaran. Dalam hal ini, luas selimut tersebut merupakan luas juring lingkaran dengan titik pusat di C dan berjari-jari s (garis pelukis kerucut menjadi jari-jari lingkaran C), seperti gambar di bawah ini.
Maka, luas selimut kerucut atau luas juring BCB’ dapat di cari dengan menggunakan hubungan antara luas juring dengan panjang busur lingkaran, yakni
Luas BCB’/Luas C = Panjang BB’/keliling C
Dalam hal ini panjang BB’ merupakan kelilinglingkaran A yakni 2πr, sedangkan luas lingkaran C dapat dicari dengan menggunakan jar-jari s yang merupakan garis pelukis kerucut yakni πs2 dan keliling lingkaran C dapat dicari yakni 2πs. Maka persamaan di atas menjadi:
Luas BCB’/πs2 = 2πr/2πs
Luas BCB’/πs2 = r/s
Luas BCB’ = πs2r/s
Luas BCB’ = πrs
Jadi luas selimut kerucut dapat dirumuskan:
L selimut = πsr
Sedangkan alas kerucut merupakan luas lingkaran A yakni πr2, maka luas permukaan kerucut dapat dicari yakni:
L = luas alas + luas selimut
L = πr2 + πsr
L =πr(r+s)
Jadi luas permukaan kerucut dapat dirumuskan:
L = πr(r+s)
Panjang s dapat dicari dengan menggunakan teorema Phytagoras, yakni:
s2 = r2 + t2
s = √(r2 + t2)
Contoh Soal
Luas permukaan kerucut dengan diameter 10 cm dan tinggi 12 cm adalah ….
A. 85 π cm2
B. 90 π cm2
C. 220 π cm2
D. 230 π cm2
(Soal UN 2010/2011)
Penyelesaian:
Kita harus mencari nilai s terlebih dahulu, dalam hal ini r = d/2 = 5 cm, maka:
s = √(r2 + t2)
s = √(52 + 122)
s = √(25 + 144)
s = √169
s = 13 cm
L = πr(r+s)
L = π.5.(5+13)
L = 90 π cm2
Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 90 π cm2 (Jawaban B)