Pada postingan sebelumnya sudah membahas mengenai “Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan”, pada postingan tersebut sudah dibahas keterkaitan antara konsep fungsi limit dengan fungsi turunan. Nah pada psotingan ini akan membahas cara Menghitung Turunan Fungsi yang Sederhana dengan Menggunakan Definisi Turunan. Oke, langsung saja ke pokok bahasan.
Turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v
Misalnya anda menemukan contoh soal seperti berikut ini. Carilah f ′(x) jika f(x) = 3x3 + 7x2. Contoh soal tersebut merupakan salah satu contoh turunan fungsi yang berbentuk y = u + v. Bagaimana cara mencari turunan pertama dari soal tersebut tanpa menggunkan konsep fungsi limit?
Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x). Begitu juga bila f(x) = u(x) – v(x), maka f ′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi, jika y = u ±v, maka y' = u' ± v'. Oleh karena itu, dengan menggunakan konsep turunan, maka
f(x) = 3x3 + 7x2
f′(x) = 9x2 + 14x
Nah itu teorinya, agar lebih jelasnya, coba anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini
Contoh Soal 1
Carilah f ′(x) jika f(x) = 3x2 + 7x
Penyelesaian:
f(x) = 3x2 + 7x
Misal:
u = 3x2 → u' = 3⋅2⋅x2 – 1 = 6x1 = 6x
v = 7x → v' = 7⋅1⋅x1 – 1 = 7x0 = 7⋅1 = 7
Jadi jika f(x) = u + v, maka f ′(x) = u' + v' = 6x + 7
Contoh Soal 2
Carilah f ′(x) jika f(x) = –x3 – 8x2
Penyelesaian:
f(x) = –x3 – 8x2
Misal:
u = –x3 → u' = –3x3 – 1 = –3x2
v = 8x2 → v' = 8 ⋅ 2⋅ x2 – 1 = 16 x1 = 16x
Jadi jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u' – v' = –3x2 – 16x
Turunan fungsi yang berbentuk y = u⋅ v
Pembahasan di atas sudah dijelaskan penjumlahan atau pengurangan dari turunan fungsi, maka sekarang kita lanjut dengan turunan fungsi dalam bentuk perkalian atau perkalian turunan fungsi. Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)(5x + 3). Apakah caranya sama seperti penjumlahan atau pengurangan turunan fungsi?
Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x)⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x). Jadi jika y = u⋅ v, maka y' = u' v + u v'.
Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh soal 1
Carilah y′ jika y = x(5x + 3)
Penyelesaian:
Cara 1:
y = x (5x + 3)
y = 5x2 + 3x
y' = 5 ⋅ 2x2 – 1 + 3 ⋅1 x1 – 1
y' = 10x1 + 3 ⋅ x0
y' = 10x + 3 ⋅ 1
y' = 10x + 3
Cara 2:
y = x(5x + 3)
misal:
u = x → u' = 1
v = 5x + 3 → v' = 5 + 0 = 5
Jadi jika y = u⋅ v, maka
y' = u' v + u v'
y' = 1 (5x + 3) + x (5)
y' = 5x + 3 + 5x
y' = 10x + 3
Contoh soal 2
Carilah y ′ jika y = 3(2x + 1) x2
Penyelesaian:
Cara 1:
y = 3(2x + 1) x2
y = 6x3 + 3x2
y' = 6 ⋅ 3x3 – 1 + 3 ⋅2 x2 – 1
y' = 18x2 + 6x
Cara 2:
y = 3(2x + 1) x2
y = (2x + 1) 3x2
misal:
u = 2x + 1 → u' = 2
v = 3x2 → v' = 6x
Jadi jika y = u⋅ v, maka
y' = u' v + u v'
y' = 2 ⋅ 3x2 + (2x + 1) 6x
y' = 6x2 + 12x2 + 6x
y' = 18x2 + 6x
Turunan fungsi yang berbentuk y = u/v
Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)/(5x + 3). Apakah caranya sama seperti perkalian turunan fungsi? Jika y = f(x) = u(x)/v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = (u'(x)⋅ v(x) - u(x) ⋅ v'(x))/ v(x)2. Jadi jika y = u/v, maka y' = (u'v + uv')/v2.
Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi
Carilah turunan pertama dari y = (3x+1)/(4x-3)
Penyelesaian:
y = (3x+1)/(4x-3)
misal:
u = 3x – 2 → u' = 3
v = 5x + 6 → v' = 5
Jika y = uv, maka
y' = (u′ v - uv′)/v2
y' = (3(5x+ 6) - (3x - 2)5)/(5x+6)2
y' = ((15x+ 18) - (15x - 10))/(5x+6)2
y' = 28/(5x+6)2
Turunan fungsi yang berbentuk y = un
Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)12. Bagaiman cara mencari turunan fungsi seperti soal tersebut? Jika y = f(x) = u(x)n, di mana turunan dari u(x) adalah u'(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ′(x) = n.u′(x).u(x)n-1⋅ Jadi jika y = un, maka y' = n.u'.un-1
Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi Pangkat
Carilah turunan pertama dari y = (2 + 5x2)5
Penyelesaian:
y = (2 + 5x2)5
misal :
u = 2 + 5x2 → u' = 10x
Jika y = un, maka
y' = n. u'.un – 1
= 5. 10x (2 + 5x2)5 – 1 ⋅
= 50x(2 + 5x2)4
Jadi, Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u' turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan, berdasarkan pembahasan tersebut dapat disimpulkan beberapa rumus untuk turunan fungsi sebagai berikut.
Rumus-rumus di dalam kotak tersebut dapat dibuktikan dengan menggunkan konsep limit fungsi. Silahkan anda buktikan sendiri rumus-rumus tersebut.